Lebesgue 控制收敛定理 讲的是如果 $(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上复可测函数列 $\{f_n\}$ 逐点收敛到某函数 $f$, 且诸 $\{f_n\}$ 被某个 $L^1$ $\mu$-可积的函数 $g$ 控制(指 $|f_n(x)|\leqslant g(x)$, $\forall\ n$, $\forall\ x\in X$), 则 $f$ 在 $X$ 上也是 $L^1$ $\mu$-可积的, 并且它与 $f_n$ 在 $X$ 上相差很小, 差值的模的积分趋于零. 且 $f_n$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分收敛且趋于 $f$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分.

使用数学语言, 即

Thm. 假定 $\{f_n\}$ 是 $X$ 上的复可测函数列, 使得

\[f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x),\qquad x\in X.\]

若存在一个函数 $g\in L^{1}(\mu)$ 使得

\[
|f_n(x)|\leqslant g(x),\qquad(n=1,2,3,\ldots;\ x\in X)
\]

则 $f\in L^{1}(\mu)$,

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X |f_n-f|\mathrm{d}\mu=0,
\]

并且

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu=\int_X f\mathrm{d}\mu.
\]

注意

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X |f_n-f|\mathrm{d}\mu=0\quad+\quad f\in L^{1}(\mu)\quad\text{可推出}\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu=\int_X f\mathrm{d}\mu.
\]

参考 [1] P. 31.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》